Тема 1.  Выбор двоеточия, тире или запятой

Вопрос 1. Мне нужна помощь, я тут один.
Почему в этом предложении мы ставим запятую перед "я"?

Ответ 1
Правила пунктуации в бессоюзном сложном предложении:  https://orfogrammka.ru/OGL05/71827528.html

Между предикативными частями бессоюзного сложного предложения ставится запятая, если эти части близки между собой по смыслу: Метель не утихала, небо не прояснялось (П.); Бледные щёки впали, глаза сделались большие, большие, губы горели (Л.); День был серый, небо висело низко, сырой ветерок шевелил верхушки трав (Т.). <...>

Однако тут можно вместо запятой поставить двоеточие.
Двоеточие ставится между частями бессоюзного сложного предложения, если вторая часть указывает основание или причину того, о чем говорится в первой части (между обеими частями можно вставить причинные союзы потому что, так как, поскольку и т. п.): Однако пора вставать: уже без четверти шесть (П.); Печален я: со мною друга нет (П.); Он покраснел: ему было стыдно убить чело века безоружного (Л.). <...>
Вывод
Наиболее подходящими знаками здесь будут запятая или двоеточие. Можете примерить:
Мне нужна помощь, я тут один. Мне нужна помощь: я тут один.

Комментарий
1. Желательно приводить ссылки из Розенталя (лучше пользоваться первоисточником, чем пересказом). 2. В ответе указано два решения, а нужно выбрать одно. 3. Что означает фраза: по смыслу предложения близки между собой? По-моему, ничего не обозначает. Если простые предложения объединены в сложное, то они всегда в чем-то близки по смыслу. 4. Вот чем плох пересказ "орфограммки" – неточностью терминологии и определений. В действительности здесь именно причинно-следственные отношения, но по Розенталю автор может не обозначать их и заменить двоеточие запятой.

Ответ 2
Мне нужна помощь, я тут один.

Это бессоюзное сложное предложения (БСП), причем второе предложение указывает на причину первого. В этом случае ставится двоеточие, но при отсутствии предупредительной интонации (увеличенной паузы) допускается постановка запятой (обычно для нераспространенных предложений).

Правило
Розенталь, § 44. Двоеточие в бессоюзном сложном предложении
http://old-rozental.ru/punctuatio.php?sid=150#pp150

6. Если вторая часть бессоюзного сложного предложения указывает основание или причину того, о чем говорится в первой части, то между частями ставится двоеточие (между частями можно вставить причинные союзы потому что, так как, поскольку и т. п.): Однако пора вставать: уже без четверти шесть (П.); Печален я: со мною друга нет (П.);

Примечание. При отсутствии предупредительной интонации двоеточие в этих случаях не ставится: Сейчас не поедешь, жарко (Ч.).

Тема 2. Почему ставится запятая в БСП?

Вопрос 1. По какому правилу ставим запятую?

Я должен признать, эта идея прекрасна.

По какому правилу мы ставим запятую в данном предложении?

Ответ
Я должен признать, эта идея прекрасна.

Это бессоюзное сложное предложение (БСП), отношения между двумя частями изъяснительные. В этом случае классическим знаком является двоеточие, но запятая тоже допускается.

Розенталь, § 44. Двоеточие в бессоюзном сложном предложении (пункт 3):
Примечание. При отсутствии оттенка предупреждения в начале бессоюзного сложного предложения данного типа после первой части вместо двоеточия ставится запятая: Слышу, земля задрожала (Н.).
Оттенок предупреждения — это увеличенная предупредительная пауза с неполным понижением тона перед ней.
Такой вариант отчасти (по семантике и интонации) соответствует вводному предложению.

Тема 3. Почему ставится тире в БСП?

Вопрос 1. Можно ли поставить тире в этом предложении?
Доброе утро, друзья, заходите на эфир – будем ловить выигрыши вместе! 

Ответ
Постановка тире – правильное решение, он соответствует увеличенной паузе в устной речи. Грамматику можно объяснить по-разному. 

Вариант 1. Это бессоюзное сложное предложение (БСП), тире обозначает общий характер взаимообусловленных отношений.
Вариант 2. Вторая часть – это присоединительная конструкция, дополнительно указывает на цель посещения.

Тема 4. Тире или двоеточие?
Скажите, пожалуйста, уместно ли в этих двух предложениях тире? Ведь можно между частями поставить "а именно", значит, должно быть двоеточие?
Мы знали, что делать – как организовать штаб, наладить его работу.
Но счастье длилось недолго – проработали так всего три или четыре месяца.

Ответ

Постановка знаков во многом зависит от контекста, поэтому решать задачу для отдельного предложения мы всегда можем с определенной условностью.

Мы знаем, что двоеточие является основным (классическим) знаком, если вторая часть раскрывает, поясняет содержание первой. Но также нам известно, что тире может заменять двоеточие (при этом меняется расстановка ударений, выражаются разные оттенки значений).

1. Мы знали, что дЕлать: как организовать штаб, наладить его работу.

Имеется в виду: что именно делать. Здесь более уместным выглядит двоеточие, если ударение падает на глагол "делать". Двоеточие обозначает интонационное предупреждение о дальнейшем раскрытии темы (неполное понижение голоса перед длительной паузой).

Мы знАли, что делать — как организовать штаб, наладить его работу.
При постановке тире вторая часть имеет присоединительный характер, главная мысль выражена в первой части (ударением выделен глагол "знали").

2. Но счастье длилось недолго — проработали так всего три или четыре месяца.

В этом предложении, наоборот, более убедительно выглядит тире, хотя двоеточие тоже не исключается.
А смысл примерно такой же: при постановке тире главное сказано в первой части, а второе сообщение оформлено как присоединительное. Пауза в этом случае меньшей длительности, чем при двоеточии.