Вопрос 1. Почему слово троЕчник пишется через Е?

Почему суффикс -ЕЧ, а не -ИЧ в слове троечник.

Ответ
В прилагательных, образованных от существительных, оканчивающихся на -ка, после мягких согласных, шипящих и ц в безударном положении пишется еч-н. Аналогично с образованными от них существительными:
ложка — ложечный — ложечник
балалайка — балалаечный — балалаечник
тройка — троечный — троечник

Как это объяснить? Беглая гласная Е появляется в форме Р.п мн. числа: тройка — тройки — нет троек.

Соответственно, Е присутствует в уменьшительной форме на месте Й: тройка — троеч/к/а. 
Здесь чередование К/Ч + суффикс К.

Также возможен словообразовательный разбор с выделением суффикс ЕЧК и усечением основы: тройка —тро/ечк/а.