Поговорим о парадоксах, но не очень серьезно и весело. И  разговор будет не о логических, а о речевых парадоксах.
Это заданный вопрос
1. Конечно нет, скажут составители учебных пособий, это лексическая ошибка (плеоназм), ведь на греческом языке paradoxos – это как раз и есть необыкновенный, странный.

ПАРАДОКС, -а; м. [от греч. paradoxos – необыкновенный, странный] Неожиданное, непривычное, расходящееся с традицией, общепринятыми нормами рассуждение, мнение, вывод. Он часто говорит парадоксами. // Разг. Неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям. П. состоит в том, что металла выплавляем много, а его не хватает.

Составители даже пример придумали, вставив в текст отсутствующее слово: Одним из (странных) парадоксов внутренней политики Александра I послевоенного времени стало то обстоятельство, что попытки обновления российского государства сопровождались установлением полицейского режима, позднее получившего название "аракчеевщины".

2. А какие же определения может иметь слово «парадокс»? Вот на одном ресурсе дается сочетаемость: https://kartaslov.ru/сочетаемость-слова/парадокс. Там есть определения «странный, удивительный», но, может, это ошибка?

3. Посмотрим в Нацкорпусе. «Странный парадокс» встречается, хотя и редко. Удивительно, что Пастернак его использует, вот бы у кого спросить!
И только борьбой этих двух начал в ее душе могу я объяснить странный парадокс, что, уничтожая мои рисунки, она в то же время, вняв слезным просьбам моим, разрешила мне взять несколько уроков рисования. [Л. О. Пастернак. Записи разных лет (1943)]

Так точно ли это ошибка?

Комментарии (еще пока по теме)

— Ну, Пастернак не аргумент против плеоназма, у классиков такое встречается. «Согласно кивнул головой» вместо просто «кивнул», например, есть и у Горького, и у Шукшина, и у Искандера). Что касается «странного парадокса», то я бы такой оборот использовать не стал, но его можно оправдать: странный парадокс – новый, непривычный, в отличие от каких-нибудь давно затёртых, уже не вызывающих ощущение "странности" парадоксов.
Замечу также, что плеоназм не всегда является лексической ошибкой, он может быть художественным приёмом. «Закрой глаза кожей – и спи! (Платонов). 

— Я поняла вас так. Великим всё можно, все позволено, в том числе плеоназм, так что нечего нам на них равняться. Кроме того, у писателей это может быть художественным приемом. Вы же считаете сочетание ошибочным, сами его не используете (еще под критику попадешь), но для других допускаете некоторую условность – непривычный/новый парадокс. Что я могу сказать? «Новый парадокс» кажется мне сомнительной идеей – у нас нет списка привычных парадоксов. 

К тому же я допускаю для себя безусловную правильность сочетания «странный парадокс», и мне хотелось бы понять почему. Не могли бы вы объяснить высказывание Пастернака? Ошибка ли это, небрежность или все-таки сочетание, которое не казалось ему неправильным и недопустимым в той мере, как это понимается в наше время и пропагандируется как образец плеоназма. Если можно, в виде ответа.

— Привычные парадоксы – это, к примеру, апории Зенона. Что у Пастернака – я не знаю и не рискну даже предполагать, так что ответа не будет. 

— Спасибо за комментарии, если уж ответа не будет. Мне вообще никто не отвечает... Наверное, лучше и не спрашивать. 

Это первый ответ (не очень понятный)

Греческое слово παράδοξος (парадоксос) происходит от греческих παρά (несмотря на, вопреки) и δόξα (мнение, ожидания, представление). 
Иными словами парадокс это мнение, рассуждение, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным или противоречащим здравому смыслу.
Что касается Пастернака, это выглядит как обычный плеоназм и не несёт какой-то нагрузки.

Комментарий

1. Парадокс имеет два значения: мнение и явление (см. словарь). Мое мнение, к примеру, очень часто расходится с общепринятым. Тогда это парадокс? Пока нет, надо доказать что оно «кажется нелогичным или противоречащим здравому смыслу». А чей здравый смысл берется в качестве образца? Вот здесь неувязочка –  какой-нибудь меня не устраивает.

И что значит «кажется нелогичным», и опять же кому? Нелогичность надо доказывать, а в нашем обществе с этим проблемы. Логику в школе не изучают, а здесь нужно строгое доказательство, не каждый возьмется. А если и возьмется, то кто его будет слушать и понимать? Замкнутый круг.

Поэтому понятие парадокса у нас чисто бытовое, в том числе у Пастернака. И вопрос-то не о научных парадоксах, а о нашей повседневной оценке ситуации. А вот требование к речевой правильности – «строго научные». Вот вам еще один «парадокс».

И вопрос-то был именно о речевой правильности, а не о парадоксах вообще. Надо было понять, откуда всё это пошло. У нас «грамотный человек» обязан: знать правильное ударение (звонИт), не одевать пальто и не говорить «странный парадокс». Это всё, что нужно грамотному человеку. 

Это второй ответ (от автора вопроса)
О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух,
И Опыт, сын ошибок трудных,
И Гений, парадоксов друг…
1829 г.

1. Кто-то однажды узнал (прочитал в словаре) о происхождении слова «парадокс»: на греческом языке – это необыкновенный, странный.И конечно же, сразу догадался, что «странный парадокс» – плеоназм, причем не какой-нибудь там заурядный. Это – король плеоназмов, главный среди них, образцовый. И все ему поверили, потому что образцы и ориентиры нужны всегда, а иначе у нас будет спутанное сознание.

2. Но русский язык – это не совсем греческий, и значение слов в нем не остается неизменным. Парадоксальным стали называть необычное мышление, выходящее за рамки стандартной логики (оно оценивалось как негативное), а также явления, которые нельзя было объяснить стандартной логикой (и это было огорчительно).Разум как бы признавал свою ограниченность: то ли знаний не хватает, то ли само мышление несовершенно. Вот гений – это «парадоксов друг!».

3. Но здесь мы разбираемся со «странным парадоксом». Оказывается, этому слову нужны определения – другими словами, нужна классификация. Ведь разные бывают парадоксы: (1) временные, исторические, логические; (2) забавные, любопытные, интересные; (3) известные, очередные, следующие.
И что удивительно, странными они тоже бывают. Это простое усиление признака, обычное дело в языке: очень странный, самый странный. К тому же повтор может быть художественным средством выразительности.
И в конце концов, парадокс – это странное (необычное) явление, которое можно объяснить только странной (необычной) логикой. Получается как бы дважды парадокс – почему бы не подчеркнуть это.

4. И еще о Пастернаке – у него-то почему «странный парадокс»? Не знал, что это плеоназм, не заметил или намеренно употребил это сочетание? У таких людей свободное мышление – их уж точно не заставишь думать со всеми одинаково и всегда считать повтор плеоназмом.
Но и особого смысла он сюда, возможно, не вкладывал. Интересно, что этому слову в данном предложении требуется какое-нибудь определение для равновесия фразы, но использовать, к примеру, указательное местоимение (этот парадокс) он, вероятно, не захотел, то есть счел его неподходящим.

P. S. Почему вообще был задан этот вопрос. 
В задании было дано предложение и требовалось найти лишнее слово. Я быстро прочитала его, и в качестве кандидата выбрала указательное местоимение «то», которое в изъяснительных СПП часто бывает лишним. Но, увы, к местоимению вопросов не оказалось, а вот «странный парадокс», который быстро вычислили все, я сначала просто не заметила…

Комментарии (теперь обсуждаем стандартных людей)
 
— То есть это была кампания по обелению собственной ошибки хотя бы в собственных глазах. Ясненько.
 
— Ну да, кампания по обелению. Если это все, что вы поняли из моего ответа. И я предпочитаю ошибаться вместе в Пастернаком, чем быть в компании стандартных людей, которые всегда строятся в ряд по команде. А вот хотя бы какой-нибудь версии для объяснения факта придумать ну никак не могут.
 
— Рекомендую регулярно прыгать из окна третьего и выше этажа, чтобы не быть в компании тех стандартных людей, которые этого не делают. Или съешьте яблоко с цианидом, как Тьюринг — он же гений, отличная компания, нестандарт!

— Спасибо, в детстве уже прыгала. Правда, в снег и только со второго этажа. Спасибо хотя бы за плюс, который вы мне поставили.

— Это не я поставил. Слишком стандартно было бы поставить плюс... А знаете, поставлю-ка я минус. Хоть какое-то разнообразие.

— А я знала, что не вы. Проверка на стандартность: реакция быстрая, но агрессивная, уж и не знаю, как оценить.
 А отсутствие стандарта – это нормально! Это естественное желание человека – быть другим, это наше право, дарованное нам Высшими силами. И мы не стайки рыб с общим сознанием. Читайте Священное писание, Псалом 81: «Я сказал: вы — боги, и сыны Всевышнего — все вы».

— Рассуждая о стандарте, не путайте вкус, моду и личные пристрастия. Вкус – это понимание объективного уровня того или иного художественного высказывания. Этот навык воспитывается самостоятельно.

— А что у вас является гарантом объективности? Не очень понятно, как строится ваша система отсчета. А то воспитаешь еще неправильный навык.
 
— У меня – ничего не является, я существо стандартное. Безвкусное.
 
— А зачем же вы взялись воспитывать мой вкус, если уж так? Я только вот настроилась на воспитание навыка.
 
— Кажется, я никого не воспитывал… 

— Ладно, сами видите, что "человека" из меня не сделаешь, плохое я для вас общество по части духовности и интеллектуальности.

— Вообще-то я, будучи случайно обретшей самосознание флуктуацией ноосферы, хотел сделать из вас больше чем человека. Эх, люди, как же вы инфантильны, если смотреть со стороны.
 
— Ну что вам может сказать человек «еще не обретший»? Сами вы инфантильны!