Вопрос 1. Приставка «про-» в слове «продолжение»
Объясните, пожалуйста, почему в слове "продолжение"  про- не является приставкой? Ведь корень -долж-.
Ответ
Слова "длинный, продлить, долгий, продолжить" исторически родственные, да и в современном языке имеют сходные значения, связанные с временной или пространственной протяженностью. Но одного этого недостаточно: мы должны видеть не только одинаковые по значению корни долг/долж, но и подобрать рабочую схему образования слова, которая характерна для современного состояния языка.

Сравним два глагола: про/дл/ить и продолж/ить. Он могут быть взаимозаменяемыми, например: продлить (продолжить) линию до пересечения с окружностью, продлить (продолжить) каникулы до января.
Кажется, что они образованы по одной схеме, но существует глагол "длить(ся)", соотнесенный с прилагательным "длинный", но нет глагола «должить», соотнесенного с прилагательным "долгий".
Поэтому не работает схема образования «долгий — продолжить» с использование приставки ПРО и нужным нам значением (увеличить длительность чего-либо).

Вопрос 2. Морфемный разбор слова "удлиненный"
Подскажите, почему в слове "удлиненный" - корень "дл", в то время как у его однокоренных сородичей (длина, длинный) - корень "длин"?

Ответ
Слова «длиться, длина, длинный», а также «долгий» являются исторически родственными и восходят к и.-е. корню del, передающим идею временной протяжённости (то, что медленно тянется, долго длится). Значение пространственной протяженности более позднее.

В русском языке эти слова появились в12 веке, причем значение их уточнялось. Так, «длина» сначала называлась «долина», а « долгий» имело значение «длинный».
Но разбор слов (морфемный и словообразовательный) делается по современным толковым и словообразовательным словарям. В настоящее время непроизводными считаются глагол «длиться» и существительное «длина». 

По словообразовательным словарям (Тихонова, а также нового словаря Елынцева, Колымов) мы имеем следующую цепочку слов: длина, — длин/н/ый (суффикс Н) — у/длин/и/ть (усечение основы на Н) — у/длин/енн/ый.
Сравнить: корот/к/ий — укорот/и/ть (также усечение основы на К).

Таким образом, в слове «удлиненный» корень «длин».

Приложение
Из толкового словаря Кузнецова на Грамоте.ру
Длинный, 1. Имеющий большую длину (1 зн.), протяжение (противоп.: короткий). Д-ое платье. Д-ые волосы. 3. Продолжительный, долгий по времени. Д. разговор. Д-ая зима. 

Длина, ж. 1. Протяжение чего-л.; расстояние между кем-, чем-л. Меры длины. Измерить длину и ширину. Длиною в три метра. 2. Продолжительность, длительность (о времени). Д. рабочего дня. Д. ночи.

Удлинить что. 1. Сделать длиннее, увеличить в длину. У. платье. 2. Сделать более длительным, продолжительным. У. тренировки. У. время занятий.