Софистика говорит об относительности всех знаний. Она
                                                                  утверждает, что нет объективной истины, потому что сам человек
                                                                   – мера всех вещей (цитата из статьи)

Речь идет об общем элементе в сложносочиненном предложении (ССП), когда запятая перед одиночным союзом И по правилам не ставится.
Общий элемент или нет – вот в чем вопрос. Иногда семантика, лексика, грамматика, а также распространенность простых предложений в составе ССП подсказывают нам нужное решение, но сомнения возникают довольно часто. Простые предложения в составе ССП должны быть ОДНОРОДНЫМИ (независимыми), так как причинно-следственная связь между ними препятствует их объединению.

Примеры
(1) Как оказалось, рядом рос шиповник и собака поранилась острым шипом.

Запятой нет – вводное сочетание является общим. Здесь обозначена причина поведения собаки (она, вероятно, завизжала от боли), а предложения раскрывают эту тему – соответственно, их можно СЧИТАТЬ НЕЗАВИСИМЫМИ (однородными).

Почему предложения независимые? Событие задано двумя РАВНЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ: шиповник мог бы оказаться или не оказаться рядом, собака могла бы задеть его или не задеть. Но в действительности не в этом дело: объединение удобно нам ввиду МАЛОЙ РАСПРОСТРАНЕННОСТИ предложений, поэтому нас УСТРАИВАЕТ именно такое толкование. Запятая перед И не ставится.

Но вот другая запись: Как оказалось, рядом с барбарисом рос шиповник, и его шипы глубоко впились под кожу животного.
Здесь уже наличие местоимения «его» и значительная распространенность мешают объединению предложений – и мы считаем их неоднородными (взаимообусловленными), хотя семантика не изменилась. Соответственно, мы относим вводную конструкцию только к первому предложению, запятая перед И ставится.

Почему же изменилась наша точка зрения? Теперь мы считаем, что взаимообусловленность предложений задается ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ событий: рядом рос шиповник и поэтому собака поранилась острым шипом. Если бы его не было, то и не поранилась бы. Противоположное мнение тоже можно объяснить.

Другими словами, "СОФИСТИКА" нашего мышления при разных оценках одного события здесь очевидна. Поэтому общий элемент в сложносочиненном предложении – это вещь довольно УСЛОВНАЯ, и автор в некоторых случаях (при отсутствии ЯВНО ВЫРАЖЕННОЙ зависимости между простыми предложениями) может ориентироваться на их структуру по своему УСМОТРЕНИЮ.

(2) Так как оплата прошла через приложение, нам потребуется помощь технической поддержки, и мы не можем прямо сейчас вернуть баллы.
Это сложное предложение, оно состоит из трех простых. Нужно решить вопрос о наличии запятой перед союзом И.
Возможный диалог: – Почему вы сейчас не можете вернуть мне баллы?» – Так как оплата прошла через приложение, то нам потребуется помощь технической поддержки, // поэтому мы не можем прямо сейчас вернуть баллы. Второе предложение по смыслу теснее связано с придаточной частью, чем третье. Также формы глаголов во втором и третьем предложениях разные, это будущее и настоящее время (потребуется, прошла). 
Поэтому по структуре фраза делится на две части: СПП с одним придаточным и самостоятельное третье предложение.

(3) Да, конечно, у нас под каждый размер шины своя заготовка, и средние закончились.
«Да, конечно» явно относится только к первой части, запятая ставится.

(4) После завершения установки нажмите А, и на экране отобразится установленное время. 
В этом случае есть возможность для выбора решения. Распространенное обстоятельство времени (после завершения установки) лучше отнести только к первому предложению. Здесь скорее имеют место два события: разная форма глаголов (нажмите, отобразится) мешает объединению, к тому же пауза перед И делается в любом случае. Поэтому имеет смысл ее обозначить как грамматическую (а не произносительную, короткую) и поставить запятую.

Если же нет явных ПОДСКАЗОК или подсказки разные, то мы обычно полагаемся на ЛОГИКУ, то есть ориентируемся на причинно-следственную связь между предложениями с союзом И. Формально при наличии такой связи предложения будут неоднородными, и тогда между ними нужно поставить запятую.

А можно ли однозначно решить этот вопрос? Ведь в нашем мире все связано отношениями причины и следствия, хотя иногда такая связь не проявляется явно. С другой стороны, автор может решить этот вопрос субъективно, обозначая или не обозначая такую связь. Тогда он условно считает события зависимыми или независимыми (однородными).

Вот очень спорный пример (вводное предложение общее или нет).
Будем надеяться, повезёт(,) и разбогатею. Нужна ли запятая перед И в данном случае? "Будем надеяться"– это общая вводная конструкция?

Вводная конструкция по семантике кажется общей (будем надеяться, всё сложится хорошо). Так считает автор вопроса.
Но вот другое мнение: «Я бы не сказал, что общая. Здесь явно имеется значение следствия. Он надеется, что сначала повезет, и тогда (после того как ему повезет) он разбогатеет, основная часть не выражает одинаковых отношений.

Так кто же прав?
С одной стороны, вряд ли в первой части есть законченность действия – ведь везти должно постоянно, а не только сначала. Логическое толкование кажется сомнительным. Да и распространенность фразы небольшая, а семантика вроде бы способствует объединению. Значит, можно считать вводное сочетание общим и не ставить запятую?
Но два односоставных предложения разноструктурные и не выглядят однородными (а это является дополнительным условием для их объединения и отсутствия запятой). Поставить запятую?
 
Решение данного вопроса можно ОБОЙТИ, так как лучше поставить ТИРЕ: Будем надеяться, повезёт – и разбогатею.
Без паузы и знака предложение читается невыразительно. Но еще одна запятая в такой короткой фразе приведет к непониманию структуры предложения, поэтому ставим ИНТОНАЦИОННОЕ тире. Такое решение будет соответствовать правилам для любого толкования относительно причинно-следственных связей. Софисты всегда правы))