Вопрос 1. Верно ли построено предложение с деепричастным оборотом?
Вчитываясь в рассказы Чехова, можно за видимой простотой находить глубину смысла и сложность художественного построения.
Все ли здесь верно? Я не вижу в этом предложении субъекта, к которому бы относился деепричастный оборот, однако на Решу ЕГЭ ошибки в построении деепричастного оборота здесь нет.

Ответ

Вчитываясь в рассказы Чехова, можно за видимой простотой находить глубину смысла и сложность художественного построения.

Здесь безличное предложение с инфинитивом, в этом случае можно использовать деепричастный оборот. И по смыслу ситуация понятна: у любого субъекта есть возможность.

Розенталь: http://www.evartist.narod.ru/text1/69.htm#з_02
В ряде случаев возможно употребление деепричастного оборота, не выражающего действия подлежащего:
2) в безличном предложении при инфинитиве, например: Приходилось работать в трудных условиях, не имея в течение многих недель ни одного свободного дня для отдыха.

На эту тему: Все дело в шляпе, подъезжавшей к станции
 https://rg.ru/2005/09/30/deeprichastia.html

Вопрос 2. Верно ли употреблен деепричастный оборот "будучи круглым сиротой"?

Будучи круглым сиротой, ему приходилось много работать.

Комментарий
На слух фраза кажется некорректной, несмотря на наличие инфинитива в безличном предложении. Остается найти причину. Правильно: Будучи круглым сиротой, он должен был много работать.

Ответ

1. Есть мнение, что ошибкой является наличие местоимение «ему», указывающего на производителя действия. Тогда правильный вариант: Будучи круглым сиротой, приходится/приходилось много работать.
2. Конечно, Розенталь не говорит об этом, но может это действительно так. Но дело в том, что я не уверена в правильности и этого предложения. В Нацкорпусе мне встречались примеры с оборотом "будучи", которые кажутся верными безо всяких сомнений, например: Будучи ребенком, легко поверить в сказку. Не будучи юристом, трудно разобраться в этом вопросе.
3. Может быть, этот оборот особенный и здесь нужны дополнительные требования? В чем особенность? Дело в том, что оборот будучи кем-то/каким-то обозначает не действие как таковое, а состояние субъекта действия.

В целом это тема безличных предложений, где к предикативу (слову категории состояния) тесно примыкает инфинитив. Кстати, будучи – деепричастие несовершенного вида.

4. И все же мне не нравится исправленный вариант предложения. Нравятся только такие словосочетания: легко (трудно, невозможно) представить (разобраться, поверить).

То есть это потенциальная возможность/невозможность совершения действия, будучи кем-то или каким-то. И всё!
Вот Мережковский:
Не будучи похожим на своих читателей, поставить знак равенства между второй всемирной войной и Атлантидой-Европой очень легко; но, будучи на них похожим, — очень трудно, почти невозможно.
Это предложение мне нравится.

5. Здесь нужна ваша помощь, уважаемые участники форума. Как редактировать предложение,чтобы оно было правильным.

Я допускаю такой вариант: Будучи круглым сиротой, сложно обходиться без дополнительного заработка.
Но может, верно и это предложение: Будучи круглым сиротой, приходится/приходилось много работать.

Вопрос 3. Допустимо ли использовать действительное причастие прошедшего времени?
Он сидел в ресторане, не имеющем названия.
Допустимо ли использовать "не имевшего"? В предложении подразумевается, что у ресторана нет названия, а это значит, что надо использовать действительное причастие настоящего времени ("не имеющего"). Но почему-то эта фраза сильно режет слух.

Ответ
В приведенном примере использование причастия «не имевшего» допускается и, как я думаю, является более обоснованным:
Он сидел в ресторане, не имевшем названия.

Пояснение
Теория
1. Розенталь §211. Причастные обороты http://www.evartist.narod.ru/text1/69.htm

Значение времени в причастии относительное: в одних случаях наблюдается соотносительность времен, выраженных причастием и глаголом-сказуемым, например: видел детей, играющих на бульваре (видел в то время, когда они играли); в других случаях время, выраженное причастием, соотносится с моментом речи, предшествует ему, например: видел детей, игравших на бульваре.
При прошедшем времени глагола-сказуемого причастие настоящего времени указывает на постоянный признак, причастие прошедшего времени – на временный признак.

2. Информация у Розенталя не кажется вполне ясной, хотя он указывает на три признака для различения этих форм: (1) соотнесённость с моментом речи или соответствие времен глагола и деепричастия; (2) постоянный или временный признак; (3) замена причастного оборота определительным придаточным.

3. Рассмотрим частный случай, когда сказуемое выражено глаголом несовершенного вида в форме прошедшего времени, а деепричастие также образовано от глагола несовершенного вида. 

В этом случае возникает интересная ситуация: в предложении можно использовать две формы действительного причастия (настоящего и прошедшего времени), причем кажется, что на слух они подходят обе: видел детей, играющих/игравших на бульваре. Конечно, важен контекст, который проясняет ситуацию, тогда пользователю легче ориентироваться при выборе форм.

Причастие играющий подчёркивает то, что действие происходит в текущий момент прошлого (неясно, почему это постоянный признак у Розенталя), а причастие игравших просто относит действие сказуемого и причастия к прошлому, ничего не подчеркивая (это больше похоже на постоянный признак).

Например: Он видел детей, играющих на бульваре, и они напомнили ему его собственное детство. – Он видел детей, игравших на бульваре, фонтан, клумбы с яркими цветами – всё вокруг радовалось приходу весеннего тепла.

Примечание
Ответ носит эмпирический (упрощенный) характер и обобщает практический материал. Розенталь также в научную трактовку не особо углубляется (он занимался практической стилистикой), поэтому и текст у него недостаточно  ясный.  В грамматике эта тема рассматривается подробно, но и там нет единственной точки зрения.  Тема называется так: Выбор между действительными причастиями прошедшего и настоящего времени в позиции конкуренции. 
Материал довольно сложен, там теория перемешана со статистикой, рассмотрено влияние большого количества факторов, и пока нет уверенности, что можно на этой основе составить практическое руководство для пользователей.  rusgram.ru/Действительное_причастие#33 

Примеры из Нацкорпуса:
(1) Текущий момент речи подчеркивается:

Мы говорим о подростке, ещё не имеющем своего жизненного опыта. [Наши дети: Подростки (2004)]

Она смотрела на меня недоуменно, точно я говорю о чем-то отношения к ней не имеющем, вроде движения планет. [Н. В. Нестерова. Грезиетка (2013)]

Он силился вспомнить подробности прошедшей ночи, касающиеся лично его, но при этом думал о себе в третьем лице, как бы о некоем литературном герое, конкретно не имеющем к нему никакого отношения. [Виктор Слипенчук. Зинзивер (2001)]

(2) Обозначена соотнесенность прошедшего времени для сказуемого и деепричастия

В этих выступлениях итальянская балерина появлялась в небольшом и довольно скромном танце, не имевшем отношения к сюжету оперетки. [А. Н. Бенуа. Жизнь художника (1955)]

Так, Свидерский настаивал на заказе какой-то весьма подозрительной фирме в Бордо ― городе, не имевшем ничего общего с военной промышленностью. [А. А. Игнатьев. Пятьдесят лет в строю. Кн. 4 (1947-1953)]
Проходившие мимо люди, никакого отношения к свадьбе не имевшие, тоже почему-то кричали «ура!» [Алексей Грачев. Ярый против видеопиратов (1999)]

А как работали старые врачи, не имевшие фактически никаких лекарств? [Михаил Чулаки. Прощай, зеленая Пряжка (1998)]