Вопрос 1. О деепричастии "ища"
Является ли ошибкой употребление деепричастия в предложении: «Ища на полке какую-нибудь интересную книгу...»? На олимпиаде за употребление этой формы снизили балл.

Мнения разделились.

Мнение 1. Я не вижу никакой ошибки в предложении. "Ища" — существующее деепричастие (эта форма указана в словаре), и здесь оно вполне уместно.

Мнение 2.
Да, интересный вопрос. С одной стороны, примеров в Нацкорпусе действительно много, причем его использовали известные авторы в разное время. Слово нужное, но… мне оно не нравится. Неблагозвучное какое-то.
«Ища на полке какую-нибудь интересную книгу, я случайно наткнулась на небольшой сборник стихов Пушкина». Я бы написала: Отыскивая на полке какую-нибудь интересную книгу…

В приведенных практических примерах мне тоже не попадался вариант с «ища» в начале предложения. Какие-то ограничения в использовании деепричастия все-таки возможны. Как говорится, нет дыма без огня…

Посмотрела у Грамоты. Вопрос № 265198. Существует ли деепричастие несовершенного вида от глагола искать? Ответ справочной службы русского языка. Существует малоупотребительная форма деепричастия «ища».

А что у нас в Русской корпусной грамматике? http://rusgram.ru/Деепричастие

Затруднено образование деепричастий: от основ настоящего времени V словоизменительного класса глаголов (здесь и далее терминология [Грамматика 1980]) с чередованием (появлением на стыке основы и суффикса шипящих...), например, от глаголов брехать, вязать, низать, лизать, мазать, пахать, писать, плясать, резать...).

Под эту статью деепричастие подходит: искать – ища.

Итак, вопрос поставлен, а однозначного ответа нет. Подозрений достаточно, но доказательства пока не найдены. Возможно, слово следует отнести к книжному стилю, а в разговорной речи оно не очень-то привычно и определенное чувство дискомфорта вызывает. Ведь не зря пользователи задают вопросы о корректности слова.

Что с ним не так? Чередование, отсутствие глагольного суффикса и гласный А на конце слова — по этим признакам не сразу узнается деепричастная форма, особенно в начале предложения. Но вопрос, конечно, дискуссионный.

Примеры из Нацкорпуса

Петров испугался, что потеряется и начал оглядываться, ища мать в толпе взрослых… [А. Б. Сальников. Петровы в гриппе и вокруг него // «Волга», 2016]

Рабы, что убежали от неволи, В своей судьбе чужой ища вины, Все время были чем-то недовольны, Беспомощны, крикливы, голодны. [А. М. Городницкий. Тайны и мифы науки. В поисках истины (2014)]

Он остановился весьма неловко среди комнаты, ища и стараясь придумать, что ему сделать. [Н. В. Гоголь. Шинель (1842)]